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Développement d'un modèle par éléments finis

SLB Group · 1 an

Analyse de contraintes par éléments finis d'un câble composite carbone/époxy

Étude de cas · modélisation par éléments finis de composites

Résumé

Cette étude de cas documente le développement du premier modèle par éléments finis (EF) d'un câble wireline composite carbone/époxy chez SLB Group. La construction anisotrope et multicouche du câble ne peut être représentée par une hypothèse de matériau isotrope ; le travail a donc nécessité la construction d'un modèle constitutif de stratifié orthotrope, sa vérification par la théorie classique des stratifiés, et son intégration dans un flux de calcul par éléments finis statique et dynamique automatisé de bout en bout en Python. Le modèle obtenu a servi à explorer la sensibilité aux paramètres matériaux et géométriques en amont du prototypage physique, réduisant le nombre d'itérations de conception nécessitant une fabrication physique.

Introduction & objectifs

Un câble wireline composite carbone/époxy associe une matrice polymère souple à un renfort en fibre de carbone à haute rigidité disposé en plis discrets, orientés directionnellement. Sa réponse mécanique est donc anisotrope : rigidité et résistance dépendent de la direction de chargement par rapport à l'orientation des fibres, ce qu'un modèle par éléments finis à matériau isotrope ne peut capturer. Avant ce projet, le comportement du câble en traction, flexion et chargement dynamique était évalué presque entièrement par prototypage physique — lent et coûteux dès qu'un changement de conception s'impose. Le projet s'est fixé trois objectifs :

Fidélité constitutive — représenter chaque couche composite par une loi constitutive orthotrope cohérente avec la théorie classique des stratifiés (CLT), afin que les rigidités axiale, de flexion et de cisaillement équivalentes du stratifié correspondent aux prédictions analytiques.
Analyse statique/dynamique couplée — construire un modèle unique capable de vérifications de résistance statique et d'analyse dynamique (modale) sous conditions aux limites représentatives.
Automatisation — scripter en Python toute la chaîne de pré-traitement, résolution et post-traitement afin qu'un balayage type plan d'expériences sur les paramètres matériaux et géométriques puisse s'exécuter sans surveillance.

Cadre théorique

Modélisation constitutive orthotrope & théorie classique des stratifiés

Chaque pli du composite est traité comme une lamina orthotrope homogène décrite par quatre constantes d'ingénierie indépendantes dans ses axes matériaux principaux : module longitudinal E₁, module transverse E₂, module de cisaillement dans le plan G₁₂ et coefficient de Poisson majeur ν₁₂. La relation contrainte–déformation dans le plan selon ces axes est :

$$ \{\sigma\} = [Q]\{\varepsilon\}, \qquad Q_{11} = \frac{E_1}{1-\nu_{12}\nu_{21}}, \quad Q_{22} = \frac{E_2}{1-\nu_{12}\nu_{21}}, \quad Q_{12} = \frac{\nu_{12}E_2}{1-\nu_{12}\nu_{21}}, \quad Q_{66} = G_{12} $$

Comme les plis successifs sont orientés selon des angles θ différents par rapport à l'axe du câble, la matrice de rigidité de chaque pli doit être ramenée dans le système de coordonnées global avant de pouvoir combiner les plis :

$$ [\bar{Q}] = [T]^{-1}[Q][T]^{-\mathsf{T}} $$

La somme des rigidités ramenées de chaque pli sur l'épaisseur du stratifié donne les matrices de rigidité d'extension, de couplage et de flexion utilisées par la théorie classique des stratifiés pour relier efforts/moments du stratifié aux déformations/courbures du plan moyen :

$$ A_{ij} = \sum_{k=1}^{N} \bar{Q}_{ij}^{(k)} (z_k - z_{k-1}), \quad B_{ij} = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{N} \bar{Q}_{ij}^{(k)} (z_k^2 - z_{k-1}^2), \quad D_{ij} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{N} \bar{Q}_{ij}^{(k)} (z_k^3 - z_{k-1}^3) $$

où z_k est la coordonnée dans l'épaisseur du sommet du pli k. Ces rigidités ABD en forme close ont été calculées indépendamment en Python et utilisées comme critère d'acceptation des propriétés de section homogénéisées du modèle EF avant tout cas de charge — un écart ici se serait propagé à tous les résultats ultérieurs.

Orientation matériau des plis affectée sur la section du câble stratifié dans le modèle EF — **Fig. 1.** Orientation matériau au niveau élément affectée à chaque couche enroulée en hélice (à droite : vue en coupe), suivant les axes locaux de pli utilisés pour construire [Q] et [Q̄] dans les équations (1)–(2).

Formulation par éléments finis statique et dynamique

La structure discrétisée satisfait l'équation d'équilibre statique EF standard

$$ [K]\{u\} = \{F\} $$

où [K] est assemblée à partir des matrices [Q̄] au niveau des plis ci-dessus. Pour les cas dynamiques et modaux, l'équation du mouvement complète,

$$ [M]\{\ddot{u}\} + [C]\{\dot{u}\} + [K]\{u\} = \{F(t)\} $$

se réduit, dans le cas de vibration libre non amortie, au problème aux valeurs propres généralisé utilisé pour extraire les fréquences propres ω_n et les déformées modales {φ_n} :

$$ \big([K] - \omega_n^2 [M]\big)\{\phi_n\} = \{0\} $$

La qualité du maillage a été contrôlée par un critère de convergence en erreur relative sur une réponse scalaire d'intérêt R (contrainte maximale ou première fréquence propre) entre raffinements de maillage successifs i :

$$ e_i = \frac{|R_i - R_{i-1}|}{R_i} \lt \text{tol} $$

Raffinement de maillage des deux couches de renfort externes enroulées en hélice — **Fig. 2.** Maillage propre à chaque couche généré à partir du nombre de brins, de l'angle et du pas d'enroulement de chacune des deux couches de renfort externes, raffiné jusqu'à satisfaire le critère de l'équation (4).

et les prédictions de résistance statique ont été évaluées par le critère de rupture quadratique de Tsai–Wu, qui combine toutes les composantes de contrainte dans le plan en un indice de rupture unique f (rupture prédite lorsque f ≥ 1) :

$$ f = F_1\sigma_1 + F_2\sigma_2 + F_{11}\sigma_1^2 + F_{22}\sigma_2^2 + F_{66}\tau_{12}^2 + 2F_{12}\sigma_1\sigma_2 $$

Note de conception Formuler la convergence du maillage et la prédiction de rupture comme des critères explicites, vérifiables numériquement (plutôt qu'une lecture visuelle d'une carte de contours) a rendu les deux étapes scriptables, ce qui était essentiel une fois le modèle intégré dans un balayage de paramètres automatisé (Section 3.3).

Méthodologie

Modélisation géométrique & matériau

La section du câble a été discrétisée couche par couche (âme, chaque couche de renfort enroulée en hélice, gaine), chaque couche recevant les propriétés orthotropes homogénéisées dérivées analytiquement en Section 2.1. L'orientation des plis a été mappée directement depuis l'angle d'enroulement α utilisé dans le modèle géométrique (voir l'étude de cas CAO pour sa dérivation) : un changement de la géométrie d'enroulement mettait donc à jour le plan et l'orientation matériau EF à partir du même paramètre source.

Les interactions de contact et de liaison ont été définies explicitement entre chaque paire de surfaces adjacentes — âme vers couche interne, couche à couche, et couche externe vers gaine — à l'aide de paires de surfaces maître/esclave générées depuis la même construction par décalage que les contraintes d'assemblage CAO de l'étude de cas ci-dessus : la définition de contact EF et la vérification d'interférence CAO étaient ainsi construites à partir d'une source géométrique unique et cohérente.

Paires d'interactions de liaison et de contact définies entre les couches du câble dans le modèle EF — **Fig. 3.** Paires d'interactions de contact et de liaison maître/esclave définies entre le conducteur, les couches de renfort interne et externe et la gaine.

Analyse statique & dynamique

Les conditions aux limites reproduisaient un chargement représentatif du terrain : traction axiale et flexion appliquées à une extrémité, l'autre encastrée pour les vérifications statiques, et conditions libre–libre ou appuyée–appuyée pour l'extraction modale, conformes à la configuration du banc d'essai utilisé pour valider le modèle expérimentalement. Les résultats statiques ont été évalués avec l'indice de Tsai–Wu de l'équation (6) ; les calculs dynamiques ont résolu le problème aux valeurs propres de l'équation (5) pour comparer les fréquences propres prédites aux mesures au marteau de choc sur un échantillon physique.

Conditions aux limites appliquées au modèle de câble pour le cas de charge de torsion statique — **Fig. 4.** Conditions aux limites statiques représentatives : déplacement/rotation en référentiel cylindrique appliqués à l'extrémité chargée (haut), rotation bloquée à la section fixe (bas).

Pour comprendre quelles variables de conception comptaient le plus, chaque réponse d'intérêt R (contrainte maximale, première fréquence propre, flèche en bout) a été dérivée par rapport à chaque paramètre candidat p_i — épaisseur de couche, fraction volumique de fibre, angle d'enroulement — via une estimation de la sensibilité locale par différences finies avant :

$$ \frac{\partial R}{\partial p_i} \approx \frac{R(p_i + \Delta p_i) - R(p_i)}{\Delta p_i} $$

Classer les paramètres selon l'ampleur de cette sensibilité normalisée a concentré l'effort de raffinement ultérieur sur les deux ou trois variables qui contrôlaient réellement la réponse, au lieu d'explorer uniformément tout l'espace des paramètres.

Automatisation du processus

Tout le flux — mise à jour géométrie/matériau, génération de maillage, résolution, post-traitement Tsai–Wu et modal, et la boucle de sensibilité par différences finies de l'équation (7) — a été scripté en Python autour de l'interface de script du solveur, de sorte qu'un balayage de n configurations puisse s'exécuter sans surveillance et renvoyer un unique rapport structuré (résultats tabulés plus indicateurs de convergence et d'indice de rupture) au lieu de n fichiers de résultats inspectés manuellement.

Résultats & retombées

La rigidité ABD homogénéisée calculée par l'équation (3) correspondait à la rigidité axiale et de flexion effective du modèle EF à quelques pour cent près, donnant confiance dans les données matériau au niveau des plis avant tout cas de charge. Les fréquences propres prédites par l'équation (5) se situaient dans l'incertitude de mesure des essais au marteau de choc sur un échantillon physique, et le critère de convergence de maillage de l'équation (4) a servi à sélectionner le maillage le plus grossier respectant encore une tolérance de 2 % sur la contrainte maximale, gardant des temps de calcul assez courts pour rendre le balayage de sensibilité automatisé exploitable. Le classement des paramètres via l'équation (7) a montré que l'angle d'enroulement et l'épaisseur des couches de renfort dominaient la réponse en rigidité, concentrant l'effort de conception ultérieur en conséquence et réduisant le nombre d'itérations de prototype physique nécessaires pour converger sur une construction de câble.

Distribution du couple de réaction sur la section du câble sous le cas de charge de torsion appliqué — **Fig. 5.** Couple de réaction supporté par chaque couche de renfort sous le cas de charge de torsion appliqué, dont la somme donne le couple global du câble.

Résultats de contrainte dans la direction des fibres, circonférentielle et radiale à travers les couches de renfort — **Fig. 6a.** Champs de contrainte dans la direction des fibres, circonférentielle et de cisaillement dans/hors plan alimentant l'indice de Tsai–Wu de l'équation (6).

Résultats de contrainte de cisaillement dans le plan (S11/S12) aux rayons interne et externe des couches — **Fig. 6b.** Composantes de contrainte dans le plan au rayon interne vs. externe de chaque couche, utilisées pour vérifier le rapport de contrainte dans l'épaisseur de la couche.

Distribution de la pression de contact entre couches adjacentes du câble — **Fig. 6c.** Distribution de la pression de contact aux interfaces de couches définies en Fig. 3.

État de contact (collé, adhérent, glissant, ouvert) entre les couches du câble — **Fig. 6d.** État de contact (collé / adhérent / glissant / ouvert) confirmant l'absence de séparation involontaire entre couches sous charge.

Environnement technique

La modélisation et la résolution ont été réalisées sous Abaqus, les propriétés des plis et l'empilement du stratifié étant définis via ses outils de drapage composite et recoupés avec le calcul en forme close de théorie classique des stratifiés de la Section 2.1. Toute la chaîne pré-traitement/résolution/post-traitement, y compris le balayage de sensibilité par différences finies, a été orchestrée par des scripts Python appelant l'interface de script native du solveur, et les calculs par lots ont été exécutés sur le cluster de calcul haute performance du site pour rendre le balayage de paramètres exploitable.

Nomenclature

Symbole	Signification
E₁, E₂	Module de pli longitudinal / transverse
G₁₂, ν₁₂	Module de cisaillement dans le plan / coefficient de Poisson majeur
[Q], [Q̄]	Matrice de rigidité du pli en axes matériau / globaux
A, B, D	Matrices de rigidité d'extension, de couplage et de flexion du stratifié
z_k	Coordonnée dans l'épaisseur du pli k
[K], [M], [C]	Matrices globales de rigidité, de masse et d'amortissement
ω_n, {φ_n}	Pulsation propre et déformée modale n
R_i, e_i	Réponse et erreur relative au raffinement de maillage i
f	Indice de rupture de Tsai–Wu
p_i, ∂R/∂p_i	Paramètre de conception et sa sensibilité

Références

R. M. Jones, Mechanics of Composite Materials, 2nd ed., Taylor & Francis, 1999.
S. W. Tsai and E. M. Wu, “A General Theory of Strength for Anisotropic Materials,” Journal of Composite Materials, 1971.
O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor and J. Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, 7th ed., Butterworth-Heinemann, 2013.
Abaqus Analysis User’s Guide, Dassault Systèmes Simulia Corp.